概率为什么需要样本量
前言：当我们谈“概率”，常以为它是一个固定不变的真值；但在现实数据里，概率往往要通过抽样来估计。于是问题来了：为什么同一事件的概率，有时测出来高、有时又低？答案就藏在样本量里。样本量决定了你看到的是偶然波动，还是接近真相的稳定信号。
概率并非凭空得来，而是通过频率去逼近。大数定律告诉我们：样本量越大，频率越接近真实概率；样本量太小，偶然性主导一切，结果更像“噪音”。这也是为什么初步试验看起来“有效”，扩大样本后却不再显著——并非现象消失，而是早先的抽样误差被放大了。
进一步看统计精度：估计一个比例（如转化率）的标准误差，大致与1/√n成反比。样本量翻四倍，误差才减半，这直接决定了你的置信区间宽度。置信区间越窄，结论越稳；样本量不足，区间自然会很宽，今天落在左边、明天落在右边的“反复横跳”就难以避免。
很多决策关心“差异是否真实存在”，这涉及统计显著性与统计功效（power）。样本量不足，会让第二类错误（漏报差异）大幅上升。例如一次A/B测试：基线点击率2%，期望提升到2.4%。在常见设置（显著性0.05、功效0.8）下，按二项近似计算，每组大约需要2万次曝光，才能把0.4个百分点的差异从噪声中“拉出来”。样本量如果只有几千，就算真的有提升，也常被误判为“不显著”。
还要警惕“量大≠可靠”。样本量再大，若抽样有偏（非随机、选择性缺失、重复样本），估计依然不准。因此在设计上应优先保证代表性：随机化、分层抽样、去重与数据清洗，比一味扩量更关键。只有在偏差可控的前提下，增大样本量才能有效降低抽样误差。
成本维度同样重要。由于误差随1/√n衰减，样本量的边际收益递减：从1千到1万的提升很明显，但从10万到40万，改进就不那么“划算”。实践中常用两步法：先做小样本的探索性试验，估计方差与效果量；再用功效分析反推所需样本量，最后结合预算与时间窗口做折中。
把这些要点串起来：概率估计需要样本量，是为了控制抽样误差、收窄置信区间、提高显著性判断与功效，同时在代表性与成本之间取得最优解。当样本量与抽样质量同时在线时，概率结论才真正可用、可复现、可决策。
